Construyendo los números naturales (I): Axiomas de Peano.

En teoría de números, estudiamos las propiedades de los números naturales, su factorización, soluciones de ecuaciones y otro mundo de cosas que nos ha dado de qué hablar. En esta serie de entradas, haremos algo que debimos haber hecho hace un tiempo: Construir los números naturales.


Axiomas de Peano. Empezaremos con la definición mas conocida. Esta definición se caracteriza por ser axiomática, es decir, no decimos qué son los números o como son los objetos que están en el conjunto de números naturales; a cambio, decimos qué cumplen esos objetos.

Entonces, por ejemplo, nunca decimos qué es “2”, qué es “36” o qué es “1”, solo decimos que “2”, “36” y “1” cumplen tales condiciones que se proponen sus axiomas. Bien podemos cambiar ese “2” por otro objeto, por ejemplo, “\star “, podemos cambiar ese “36” por otro objeto, llámelo “\square” y además, cambiar el objeto “1” por “\triangle” y así con todos los números… siempre y cuando cumplan los axiomas, también serán el conjunto de los naturales.

Y bueno… ¿Cómo es el asunto acá? Denotemos por \mathbb{N} a un conjunto, conjunto que llamaremos: Números naturales. En principio, desconocemos qué hay en ese conjunto, pues no hemos dicho nada de él. Entonces empezaremos con este axioma.

Axioma 1: 0 pertenece al conjunto de números naturales.

Ya tenemos un elemento en nuestro conjunto \mathbb{N}. Este primer elemento se convertirá en nuestro generador de números naturales junto con una operación llamada “sucesor” o “incremento”. Tal operación la vamos a denotar por un signo + como exponente. Es decir, el sucesor de cero se escribe como 0^+.

Axioma 2: Si n pertenece a \mathbb{N} entonces n^+ pertenece a \mathbb{N}.

Este axioma me permite decir crear nuevos naturales a partir del antiguo, dado que solo basta con hacer la operación sucesor a un elemento que ya tengo y… ¡bingo! tengo otro natural… ¿cierto?.

El sucesor de cero, como habíamos indicado se escribe 0^+, el sucesor del sucesor de cero será (0^+)^+, denotemos esto, para una escritura más cómoda, como 0^{++}. De modo que, el sucesor del sucesor del sucesor del sucesor de cero, será 0^{++++}. Para dar una vista gráfica de lo que sucede usaremos este diagrama

expl

La interpretación sería qué: dado que sale una flecha de A hasta B entonces B es el sucesor de A, es decir A^+=B. De esta forma, podemos decir qué

Situación

No parece existir problema alguno, podemos llamar a 0^+ como 10^{++} como 2 y proseguir. Así obtendríamos los números naturales como los conocemos. Pero resulta que puede ocurrir esto

situación 2

Es decir, con los axiomas que tenemos ahora, nada nos puede asegurar que eventualmente un sucesor vuelva a ser cero. Si se da ese caso, no tendríamos todos lo números naturales, tendríamos solo hasta el 8 (siguiendo la situación propuesta en la imagen), no existiría un objeto al cual llamar nueve… y no queremos eso. Más grave aún sería esto, que vendría siendo un cuento de terror :shock:.

sitaución 3

Bueno, bueno, estoy exagerando 😛 pero sí que sería grave. La última imagen nos pone a pensar en si verdaderamente habrá más elementos además del cero. Con los axiomas que tenemos en este momento no nos alcanza para asegurar eso.

Axioma 3: Cero no es sucesor de algún natural. Esto es, para todo n natural n^+ no puede ser el elemento cero.

!Ya la hicimos¡ Nuestro problema se ha solucionado.  Ya no hay impedimentos. Resulta y pasa que no, así como en las gráfica anteriores, puede que este ciclo se repita en otro punto o con otro grupo de puntos.

imagen1-incremento fail 3

Estas imágenes ejemplifican dichas situaciones. En el diagrama de la izquierda, el grupo de elementos representados por 567 se quedan en un ciclo infinito, acabando la existencia del pobre 8 que ya no es útil debido a que el 5 sirvió como sucesor, en otras palabras, 8=5: RIP 8 en adelante. En la segunda situación, el 5 es tan creído que él mismo es su sucesor, y acabó con todos lo que venían: RIP 6 en adelante. Pero nosotros no queremos esto, entonces necesitamos un axioma más para que nuestra construcción corresponda a lo que realmente es.

Axioma 4: Números distintos, producen sucesores distintos. Esto es, si nneq m entonces n^+neq m^+. Equivalente a decir: Si  n^+= m^+ entonces n=m.

¿Por qué esto evita estas situaciones?

Empecemos por la situación de la izquierda, para no liarnos con escritura larga y engorrosa, reescribiremos el diagrama así

expl1

Entonces, si observamos el nodo 5(4^+) vemos que llegan dos flechas, una desde 4 y otra desde 7, entonces 4^+=5 y 7^+=5, del cual deducimos que 7^+=4^+, por el axioma 4, 7=4. Con este resultado podríamos redibujar el diagrama anterior para así unir el punto 4(3^+) con 7(6^+)… ya que son el mismo. Nuestro diagrama queda así

expl1-1

Entonces, mirando nuestro nuevo diagrama, vemos que del punto 6(5+) sale una flecha hacia 4(3^+), y del punto 3(2^+) también. Entonces 6^+=3^+, por el axioma 4: 6=3, redibujemos el diagrama.

expl1-2

Seguimos. Al igual que en el caso anterior, hay dos flechas que llegan a 3(2^+), luego 5^+=2^+, del cual proviene que 5=2, redibujemos

expl1-3

Llegan dos flechas a 2(1^+), de modo que 4^+=1^+, entonces, por axioma 4, 1=4 redibujemos.

expl1-4

Uff, ya falta poco. Llegan dos flechas a 1(0^+) de modo que 3^+=0^+, entonces, por axioma 4, 3=0 redibujemos.

expl1-5

Ya hemos acabado, porque resulta que esta imagen indica que 0 es el sucesor de 2, pero el axioma 3 lo prohíbe.

Cabe resaltar que lo anterior no es una demostración de que este axioma soluciona todos los problemas de este tipo. Sin embargo, para cualquier diagrama podemos seguir este método para deducir una contradicción. Por ejemplo, el segundo.

Pero entonces, ¿como hacemos nosotros para poder decir que este manera de razonar permite llevar a una contradicción cualquier diagrama que contenga un bucle? Es decir, si dibujas un diagrama, con un bucle en algún sitio de cualquier tamaño, ¿qué me asegura que haciendo el mismo razonamiento anterior puedo llegar a una contradicción? ¡Jum! No sé. Pero veamos que pasa con algunos casos.



Caso 1. Empecemos con un caso sencillo, ¿qué pasa si al sucesor de cero (1) llegan dos flechas?

ind 1

En este diagrama se muestra la situación en la cual llegan dos flechas a 1, en este caso, diríamos que por el axioma 4, n=0, y luego como n=m^+ podríamos decir que m^+=0 de modo que contradice el axioma 3, y este caso queda resuelto.

Caso 2. Qué pasa si a 2 llegan dos flechas.

ind 2

En este caso, podríamos redibujar el diagrama como

ind 2-1

Y aplicar el mismo razonamiento del caso 1.

Caso 3. Qué pasa si a 3 llegan dos flechas.

ind 3

Podríamos unir los puntos n y 2. Para así obtener

ind 3-1

Y aplicar el caso 2.



… Y así podríamos quedarnos mucho tiempo, revisando casos y dando cuenta que cada cada caso nos permite demostrar el caso siguiente. Esto tiene sabor a algo, esto es algo que conocemos muy bien, ¿Qué será?… ¿Qué será? Esto huele a inducción.

Sí, esto que queremos hacer es inducción, probamos un caso base, y probamos que un caso implica el siguiente, entonces eso sirve para todos los naturales.  Esto tiene todo el sentido del mundo, sin embargo, con lo que tenemos, no podemos hacer uso de ello.

El principio de inducción fue creado para poder demostrar que efectivamente, sin importar los símbolos que use para listar los naturales, si cumplen las propiedades de los naturales… son los naturales. Este axioma no responde directamente a el problema que abada de tratar con los bucles en los diagramas: este axioma nos permite hablar de EL conjunto de los naturales.

Axioma 5: (Principio de inducción matemática) Denote P(n) como: n cumple la propiedad P donde n es un natural. Suponga que P(0) es verdadero, suponga además que: Si P(n) es verdadero entonces P(n^+) es verdadero. Entonces P se cumple para todo natural n.

Con el principio de inducción, además, queda resuelto nuestro problema de bucles.



Referencias

  • Terence Tao , Analysis I (Volume 1), Hindustan Book Agency (India),  2006,.
  • Las imágenes fueron hechas con el programa Geogebra.

1 Comentario en "Construyendo los números naturales (I): Axiomas de Peano."

  1. ¡¡¡Qué interesante!!!

    Realmente agradezco mucho que compartas este conocimiento.

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