Encontrar todos los enteros

Les dejo el problema de la semana,

Encontrar todos los enteros no negativos n tal que existen enteros a y b con la propiedad

n^2=a+b y n^3=a^2+b^2

Feliz semana! La mia anda pesada 🙁

1 Comentario en "Encontrar todos los enteros"

  1. Supongamos que n \in \mathbb{N} es tal que su cuadrado es igual a+b y su cubo es igual a a^{2}+b^{2}. Se cumple entonces que

    0 = a^{2} + (n^{2}-a)^{2} - n^{3} = 2a^{2}-2n^{2}a+n^{3}(n-1)

    y por tanto, el discriminante de 2X^{2}-2n^{2}X+n^{3}(n-1) tiene que ser un cuadrado perfecto. Dicho discriminante es

    4n^{4} - 4(2)(n^{4}-n^{3}) = 4n^{3}(2-n).

    Por tanto, los únicos números naturales que satisfacen las restricciones dadas son 1 y 2.

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