El problema de Waring y la densidad de Shnirel’man

La teoría de números aditiva, trata el problema de representar un números enteros como suma de otros. Problemas como la conjetura de Goldbach son clásicos acá. Además del problema de calcular la función partición (Recuerdas la anécdota del conde MacMahon). Pero veamos otro problema bien conocido: el problema de Waring.

Para todo número natural k, existe otro número natural r tal que todo número se escribe como la suma de r números, cada uno de los cuales es una k potencia de un entero.

En lenguaje más matemático: para todo natural n, existe r_n, tal que todo número positivo, m, se escribe de la forma

m=\displaystyle\sum_{i=1}^{r_n} k_{i}^{n}

Con k_i enteros.

¡Ah! ¡Te vino Lagrange a la Cabeza con su teorema de los cuatro cuadrados! :).

Generalicemos un poco el problema: dado un conjunto de números enteros, ¿es posible que todo número entero pueda ser escrito como la suma de números de dicho conjunto?.  Este problema fue tratado por Shnirel’man y dicho conjunto se conoce por base aditiva.

Sea A un conjunto de números naturales. Defina el conjunto

hA=\{a_1+a_2+\cdots+a_h:a_{i}\in A\}

Esto es, hA consiste en el conjunto de todos aquellos números que se escriben como suma de h números en A. Decimos que A es una base aditiva, si existe un natural h tal que hA=\mathbb{N}.

Hagamos un ejemplo para entender bien esta definición: Denotemos por \mathbb{P} al conjunto de números primos, \mathbb{N}_2 al conjunto de todos los números naturales pares. La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor a cuatro se escribe como la suma de dos números primos. Usando la definición de bases aditivas, la conjetura de Goldbach se puede reescribir como

\mathbb{N}_2-{2}=2\mathbb{P}

Sencillo!

Defina el conjunto \mathbb{K}=\mathbb{P}\cup\{0,1\}.

Desde el principio Shnirel’man le apuntó a la conjetura de Goldbach… y vaya que casi lo logra. El resultado que Shnirel’man obtuvo, fue que existía un número natural h, tal que hmathbb{K}=mathbb{N}. Escrito de otra forma

Existe un número natural h tal que todo número natural se escribe como la suma de a lo sumo h números primos.

seguido a esto demostró que todo número par se escribía como la suma de un número acotado de primos. Lo fascinante es la manera en la cual él obtuvo sus resultados.

Hagamos la última definición: Defina la densidad de Shnirel’man delta sobre un conjunto A como

\displaystyle\delta(A):=\inf_{n}\frac{|A\cap{1,2,\dots,n}|}{n}

Entonces 0\leq\delta(A)\leq 1.

Ahora, la sorpresa!

Teorema. Sea A un conjunto de números enteros, tal que 0\in A. Si \delta(A)>0 entonces A es una base aditiva de orden finito.

Ciertamente, es muy sorprendente como una propiedad tan simple y a simple vista indefensa, logre determinar una propiedad que puede llegar a ser fuerte sobre el conjunto de los números naturales. Más aún si observamos este teorema

Teorema. Sea A un conjunto de números enteros, tal que 0\in A. Si \delta(A)>1/2 entonces A es una base aditiva de orden dos.

Lo significativo que se vuelve una propiedad tan sencilla, deja ver que tenemos en la puerta la demostración de la conjetura de Goldbach: ¡es suficiente con probar que \delta(\mathbb{P})>1/2!. Pero no, nos dejamos llevar por nuestras emociones :(. Pasa que \delta(\mathbb{P})=0.

Los teoremas de Shnirel’man abrieron un tema de mucho hablar en teoría de números: las bases aditivas. De manera muy usual, uno encuentra teoremas de representación de números como suma de unos otros con propiedades particulares.

Ahora volvamos a nuestro tema inicial: el problema de Waring.

Lagrange dio el inicio mostrando el teorema de los cuatro cuadrados

Todo número se escribe como la suma de cuatro cuadrados

Seguido estuvo Wieferich mostrando que todo entero no negativo es la suma de nueve cubos. La demostración no es tan sencilla como la del teorema de los cuatro cuadrados.

Y así, se obtenían resultados para casos particulares, sin saber aún si en verdad existía dicho r_n para todo n. Hasta que finalmente Hilbert lo demostró para todos los casos. Otra demostración fue lograda por Hardy y Littlewood, la cual fue simplificada por Vinogradov. Estos métodos, según cuenta el libro de Nathanson, usan técnicas sofisticadas del análisis real y complejo.

Pero fue Linnik, el que demostró el teorema usando métodos elementales. La idea de Linnik se basa en usar la densidad de Shnirel’man, pero no en el conjunto de potencias de enteros. Linnik fue más allá de la situación, demostrando el problema de Waring para polinomios.

Sea f, una función polinómica con coeficientes enteros, con grado k\geq 1 y coeficiente líder positivo, suponga que f es creciente y no negativa, entonces f(n) es entero positivo para todo n natural.

Denote por A(f)=\displaystyle{f(i)}_{i\geq 1}. Si \gcd(A(f))=1, entonces \delta(A(f))>0

Seguido a esto, Linnik mostró que todo número suficientemente grande era la suma de siete cubos, mejorando el estimativo dado por Wieferich.

Es muy reconfortante encontrarse con este tipo de situaciones en matemáticas. Según cuenta el libro de Alina Cojocaru y Ram Murty: An introduction to sieve methods and their aplications, Hardy y Littlewood quedaron atónitos al ver como un argumento tan simple puede lograr semejante resultado. Supongo que también quedaron atónitos al conocer la demostración de Turan acerca de el número normal de factores primos.


Referencias

  • Additive Number Theory: the classical bases, Melvyn B. Nathanson, Graduate Texts in Mathematics.
  • Analytic Number Theory, Donald J. Newman, Graduate Texts in Mathematics.
  • Elementary Methods in number theory, Melvyn B. Nathanson, Graduate Texts in Mathematics.
  • Wikipedia: Goldbach’s Conjecture.

Notas al Pie

  1. Encuentro varias páginas donde colocan el nombre Shnirel’man de manera diferente, de modo que adopté este nombre, el cual aparece en la referencia.
  2. Por métodos elementales se entiende a todo aquello que no requiera de una maquinaria que se encuentre considerablemente lejos de la teoría de números elemental.

2 Comentarios en "El problema de Waring y la densidad de Shnirel’man"

  1. En la definición de densidad de Shnirel’man, debería decir |A \cap {1, \ldots , }| en vez de A \cap \{1, \ldots , \}. En el enunciado del resultado de Linnick, f es una función polinómica.

    Me ha encantado el post. Siga usted así 😉

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