El número aureo

El número áureo cumple identidades bien curiosas, vean esto (F_n es el n-ésimo valor de la suceción de Fibonacci)

\displaystyle\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}

\varphi=1+\frac{1}{\varphi}

\varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}

\varphi=\sqrt{1+\varphi}

\displaystyle\varphi=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}

\displaystyle\varphi^a=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+a}}{F_n}

\displaystyle\varphi=\sum_{n=0}^{\infty}|F(n)\varphi-F(n+1)|

\displaystyle\varphi^n-\varphi^{n-1}=\varphi^{n-2}

\varphi=-\sin666-\cos(6\cdot 6 \cdot 6)

F_n=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-\frac{(-1)^n}{\varphi^n}\right)

Y para terminar, una serie de Taylor

\varphi=\displaystyle\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!}{n!(n+2)! 4^{2n+3}}

La relación con las raíces (la tercera de la lista) nos recuerda a un grande de las matemáticas: Ramanujan


Referencias

4 Comentarios en "El número aureo"

  1. A bote pronto: 1, 2, 5 y 8 son equivalentes. 3 y 4 también. 10 es la fórmula usual para el n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci pero escrita en términos de la razón dorada. La 9 es la que se me hace menos clara.

    http://www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=19234

    Saludos.

  2. La prueba de 9 es como sigue:

    A. Hacemos la conversión de grados sexagesimales a radianes en el lado derecho. Se obtiene que

    - \sin 666 - \cos 6 \cdot 6 \cdot 6 = \sin \frac{3}{10} \pi + \cos \frac{\pi}{5}.

    B. La idea ahora es calcular explícitamente la suma anterior. Como

    \sin \frac{2 \pi}{10} = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}\right) = \cos \frac{3 pi}{10}

    y

    0 = \cos \left(\frac{2\pi}{10}+\frac{3\pi}{10}\right) = \cos \frac{2\pi}{10} \cos \frac{3\pi}{10} - \sin \frac{2\pi}{10} \sin \frac{3\pi}{10},

    se sigue que,

    \sin \frac{3}{10} \pi + \cos \frac{\pi}{5} = 2\cos \frac{\pi}{5}.

    C. Para calcular \cos \frac{\pi}{5}, utilizamos la primera identidad que aparece en B y la fórmula para el coseno del ángulo triple, que puede deducirse fácilmente de de-Moivre. Veamos. Si hacemos \theta = \frac{\pi}{10} lo que se tiene es

    \sin 2 \theta = \cos 3 \theta

    y de aquí que

    4 (\sin\theta)^2+2\sin\theta-1=0

    Resolviendo la ecuación anterior para \sin \theta se llega a que

    \sin \theta = \frac{\sqrt{5}-1}{4}.

    Así,

    2 \cos \frac{\pi}{5} = 2-4\sin^{2} \theta= 2- 4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^{2} = 2-\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{4} = \phi,

    que es exactamente lo que queríamos obtener.

    Saludos.

    P.D. ¿Podrías borrar los 3 comentarios de arriba? ¿Hay alguna manera de activar una opción de “preview” para los que escriben comentarios? Muchas gracias y disculpa el desorden anterior.

    • Descuida J.H.S, ya arreglé tu comentario.

      La verdad no sé si exista un plugin para agregar la opción de editar, espero que exista dado que es bastante útil. De pronto ^DiAmOnD^ me pueda colaborar con eso.

      Cordial saludo.

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