El conde MacMahon y la función partición

La manera en como los matemáticos intentamos resolver problemas o intentamos dar un acercamiento a un problema dando una buena conjetura es, por lo general, sentarnos y pensar a ver si se nos ocurre una idea feliz. Muchos matemáticos, usan probabilidad para hacer sus conjeturas y luego probarlas (algunos sólo hacen la conjetura y no logran probarla). Otros se dejan llevar por la intuición… pero el que viene a continuación, este fue especial.

Vamos a dar un contexto del tema para que se entienda mejor. Sea n un número natural cualquiera. Decimos que una partición de n es una expresión de la forma a_1 +a_2 + \dots+a_m donde a_i son enteros positivos para cada i.

Por ejemplo: 2+1 es una partición de 3, 1+1+1 también lo es. Note que 2+1 y 1+2 son ambas particiones de 3, aunque usen los mismos números, pero en diferente orden.

Queremos saber, dado un número natural, cuantas particiones tiene. Si no tenemos en cuenta el orden, es decir, si decimos que 1+2 es una partición distinta a 2+1, entonces un número n tiene 2^{n-1} particiones (Te atreves a probarlo). Pero si decimos que representan la misma partición el problema es un poco más complicado.

Defina p(n) como la función que cuenta la cantidad de particiones de un n, sin contar el orden… y leamos esta curiosa anécdota del Conde MacMahon.


El conde MacMahon calculó la función p(n) para muchos números (digamos 150). Habiendo calculado esto escribió tales números en una larga lista, uno tras otro… todos esa gran cantidad de números.

El conde se acercó, tomo la lista y la giró, quedando una imagen parecida a esta:

Grafica de <img src='https://s0.wp.com/latex.php?latex=p%28n%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0' alt='p(n)' title='p(n)' class='latex' />

Gráfica de los valores de [latex]p(n)[/latex]

MacMahon se alejó de la imagen, pensó un rato y dijo

Los dígitos de la función p(n) se comportan como una parábola, digamos, C\sqrt{n} para una contante C. La cantidad de dígitos de un número n en base diez es aproximadamente \log_{10} n. Entonces

\log_{10} p(n)\approx C\sqrt{n}

En otras palabras

p(n)\approx e^{C\sqrt{n}}

[1]


La manera en como el Conde dedujo la primera fórmula para la función p(n) es impresionante. Si bien el argumento de MacMahon no es una demostración matemática, es una deducción que sacó de una manera increible: Miró los dígitos y sacó una fórmula. Hasta este punto podemos decir que lo propuesto por el Conde es una conjetura… resulta que es cierto.

Teorema: La función partición cumple

\displaystyle p(n)\sim \frac{e^{\pi\sqrt{2n/3}}}{4\sqrt{3}n}

(Veasé la notación)

Lamentablemente, la demostración de este último teorema deja de ser simple. Pero es bien interesante: usa funciones generadoras.

Para ver una biografía del Conde MacMahon, les dejo un enlace a la Wikipedia en Inglés: Percy Alexander MacMahon


Referencias

  • Analytic Number Theory, Donald J. Newman, Springer-Verlag New York, Inc, 1998.
  • A000041, OEIS. Recuperado el 22 de agosto de 2011.
  • La imagen fue tomada del siguiente enlace: http://oeis.org/A000041/graph.

Nota al pie

[1] Acá se uso el hecho que

\displaystyle\log_{10} x=frac{\log x}{\log 10}

donde \log es el logaritmo natural. Por esta razón, al ‘despejar’ p(n) en la aproximación aparece un exponente en base e.

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