El uno es cuadrado, el otro no es primo

Acá van dos problemitas sencillos para espantar la pereza.

Encontrar los t entero positivo tal que

1+5\cdot 2^t

es cuadrado perfecto.

Albania IMO TST 2009

El segundo

Demostrar que

2^p+p^2

no es un número primo para cualquier número primo p\geq 5.

Albania IMO TST 2011

Y como de costumbre, mi reflexión/pregunta capciosa. Viendo el segundo problema, ¿Es posible establecer un resultado general? Me explico:

Qué condiciones sobre r y m deben existir para que la ecuación

r^m+m^r,

sea un número primo.

5 Comentarios en "El uno es cuadrado, el otro no es primo"

  1. 1. Todo indica que t=4 es la única posibilidad.

    2. Si p es un primo mayor o igual a 5, el PTF nos dice que 3 | (p^{2}-1). Por otra parte, es claro que 3 divide a 2^{k}-2 siempre que k es un número natural impar. Como todo primo mayor o igual a 5 es impar concluimos que 3 | (p^{2}-1) + (2^{p}-2) y de aquí el resultado.

    3. Una condición necesaria es que r y m sean coprimos.

    [Editado]

  2. Atle,

    ¿Podrías corregir la dirección de mi “blog” en el “post” anterior? Gracias. Sobre 3, ¿tienes tú la solución?

    Saludos.

    • Acerca del tres… No, no tengo la solución, pero le he estado ‘echando cabeza’ para ver si doy con algún resultado interesante. A lo único que he llegado son a conclusiones básicas, por ejemplo que un número debe ser par y el otro impar. Si logro algo le cuento.

      Editado: Ya corregí el link a tu blog. 🙂

  3. Puesto que aún nadie se anima a rematar el 2: supongamos que 5\cdot 2^{t}=x^{2}-1=(x-1)(x+1). Por TFA, existen números enteros no negativos m y n tales que (x-1)=5\cdot 2^{m} y (x+1)=2^{n} ó (x-1)=2^{n} y (x+1)=5\cdot 2^{m}. En el primer caso, de 2=2^{n}-5\cdot 2^{m} se colige (por paridad) que tanto m como n son positivos. La igualdad puede reescribirse entonces como 1=2^{n-1}-5\cdot2^{m-1}. Es claro que exactamente uno de los exponentes en la expresión del lado derecho tiene que ser igual a 0. Al analizar las dos opciones posibles, vemos que el caso en consideración no puede darse. Así, debe ser 2 = 5\cdot 2^{m}-2^{n}. Nuevamente, por paridad podemos deducir que tanto m como n son positivos. La igualdad previa deviene entonces en 1= 5\cdot 2^{m-1}-2^{n-1}. Nuevamente, es evidente que exactamente uno de los exponentes en la expresión del lado derecho tiene que ser igual a 0. Si m-1=0 entonces n-1 tiene que ser igual a 2. Claramente, el caso n-1=0 no puede darse. De todo el análisis concluimos que si 1+5\cdot 2^{t} = x^{2} entonces x=2^{3}+1=9 y t=4. Fin.

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