El teorema de Jordan y la suma de inversos de primos

Aclaración: No el teorema de la curva de Jordan.


Los números primos son un tema fascinante. Estudiarlos, encontrar fórmulas, demostrar comportamientos, etc. Es uno de los hobbys entre la comunidad matemática que más se ejerce. Hoy les mostraré un teorema del estilo. El teorema de J. H. Jordan.

Todos sabemos que existen infinitos números primos, más aún, que la suma de sus recíprocos diverge. Sabemos con qué velocidad diverge ( como \log\log). También sabemos, gracias a Brun, que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, aunque desconozcamos si hay finitos o infinitos. Denotemos p_n el n-ésimo número primo empezando en n=1, esto es, p_1=2, p_2=3p_3=5,….Qué les parece esta pregunta

Problema 1. La suma de los recíprocos de los primos de la forma p_{a^m} con m\geq 1 y a\geq 2 ¿Converge o diverge?

¿Corchados? Espero que no.

¿De qué manera podemos determinar la convergencia de la serie? Conocemos que hay infinitos números primos de la forma p_{a^m}, aunque eso no nos ayuda. Que tal esta:

Problema 2. La suma de los recíprocos de los primos de la forma p_{am+b} con m\geq 1 y a,b\in\mathbb{N}-{0} ¿Converge o diverge?

Jordan, en un artículo bastante corto, demostró el siguiente resultado.

Teorema: Sea S=\{p_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} donde n_{k} es una sucesión creciente de números enteros positivos. Entonces \sum_{p\in S}p^{-1} converge si y solo si \sum_{k=2}^{\infty}(n_k\log n_k)^{-1} converge.

Vemos la luz. Este teorema provee un ‘test’ sencillo para nuestros problemas de inversos.

Si bien la demostración de Jordan sólo nos habla de la convergencia de la serie, nosotros queremos ir un poco más allá y encontrar un comportamiento de la serie, después de todo, ese es nuestro hobby ;).[1]

A continuación vamos a determinar el orden correcto de la serie [2]. Primero un resultado preliminar que es bastante conocido.

Lema: Si p_n denota el n-ésimo número primo, existen A y B números positivos distintos a cero tales que

An\log n <p_n<Bn\log n.

Es decir, el orden correcto de p_n es n\log n.

Ahora sí, el teorema:

Teorema: Sea S=\{p_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} un conjunto de números primos donde n_k es una sucesión creciente de números enteros positivos. Entonces

\displaystyle\sum_{i\leq x}\frac{1}{p_{k_i}}\asymp\frac{1}{p_{k_1}}+\sum_{1<k\leq x}(n_k\log n_k)^{-1}.

Demostración: En efecto,

\displaystyle\sum_{i\leq x}\frac{1}{p_{k_i}}=\frac{1}{p_{k_1}}+ \sum_{1<i\leq x}\frac{1}{p_{k_i}},

multiplicando y dividiendo por k_i\log k_i en la sumatoria, obtenemos

=\displaystyle\frac{1}{p_{k_1}}+\sum_{1<i \leq x}\frac{k_i\log k_i}{p_{k_i} k_i\log k_i }.

Usando el lema

\asymp\displaystyle\frac{1}{p_{k_1}}+\sum_{1<i\leq x}\frac{p_{k_i}}{p_{k_i} k_i\log k_i }.

Reduciendo p_{k_i} en la sumatoria obtenemos el resultado

Sencillísimo. Ahora si puedes dar solución al problema 1 y 2.

Referencias

  • J. H. Jordan, On Sums of Inverses of Primes, Mathematics Magazine, Vol. 38, No. 5 (Nov., 1965), pp. 259-262

Notas al pie

[1] Este resultado está implícito en el artículo de Jordan.

[2] Una función f tiene orden correcto g si f=O(g) y g=O(f). Esto se denota por f\asymp g.

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