No es cubo

Mostrar que

(n+2)^4-n^4

Nunca es un cubo perfecto, para n\geq 1.

Vamos! es fácil!

6 Comentarios en "No es cubo"

  1. La expresión que das es igual 8(n+1)(n^{2}+2n+2). La veracidad del aserto se tiene entonces al notar que (n+1)^{2} < n^{2}+2n+2 < (n+2)^{2}.
  2. La primera vez que vi este problema hize esta prueba… la cual es matar una mosca con un cañon

    Suponga que para n un número natural (n+2)^4-n^4=k^3, por reducción de términos tenemos (n+1)(n^2+2n+1)=(k/2)^3, escriba r=k/2 entonces (n+1)(n^2+2n+1)=r^3

    Segundo, tenemos que (n^2+2n+2)-(n+1)^2=1, entonces \gcd(n^2+2n+2,n+1)=1. n+1 puede ser un cubo perfecto, dado a que n+1 y n^2+2n+2 son primos relativos, bastaría con encontrar un absurdo para el segundo polinomio.

    Tercero, suponga n^2+2n+2=t^3 entonces n^2+2n+1=t^3-1, luego (n+1)^2=t^3-1, en conclusión 1= t^3- (n+ 1)^2, pero el teorema de Mihăilescu (acerca de la Conjetura de Catalan) dice que la única solución es t=2 y n+ 1= 3, de manera que tenemos n=2 y (n+ 2)^4 -n^4= 240, pero 240 no es un cubo perfecto. Entonces nunca es cubo perfecto.

    Que cañonazo! Me recuerda este post en Gaussianos

  3. Gracias por la aclaración, ZetaSelberg.

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