El problema…

Sea C(n), el número de formas de escribir n como la suma de dos cuadrados.

Demostrar que

\displaystyle\sum_{1\leq n\leq x}C(n)\sim\pi x

¡Vamos Muchachos! ¡Quiero sus soluciones!

Al parecer el número pi se encuentra en lugares donde uno menos espera. La igualdad para la fórmula se tiene de esta forma

\displaystyle\sum_{1\leq n\leq x}C(n)=\pi x+O(\sqrt{x})

Interpretado como: si sumamos la cantidad de representaciones de un número como suma de dos cuadrados, de los números desde uno hasta n, en promedio estos son como pi. Veamos

  • Representaciones de uno: 1^2+0^2, (-1)^2+0^2, 0^2+1^2, 0^2+(-1)^24.
  • Representaciones de dos: 1^2+1^2, (-1)^2+1^2, 1^2+(-1)^2, (-1)^2+(-1)^2. 4.
  • Representaciones de tres: 0.
  • Representaciones de cuatro: 2^2+0^2, (-2)^2+0^2, 0^2+2^2, 0^2+(-2)^2. 4.
  • Representaciones de cinco: 2^2+1^2, 2^2+(-1)^2, (-2)^2+1^2, (-2)^2+(-1)^2, 1^2+2^2, (-1)^2+2^2, 1^2+(-2)^2, (-1)^2+(-2)^2 8
  • Representaciones de seis: 0.
  • Representaciones de siete: 0.
  • Representaciones de ocho: 2^2+2^2, (-2)^2+2^2, (-2)^2+(-2)^2, $late 2^2+(-2)^2$. 4
  • Representaciones de nueve: 3^2+0^2, (-3)^2+0^2, 0^2+3^2, 0^2+(-3)^2. 4.

Sumando tenemos 4+4+0+4+8+0+0+4+4=28, el cálculo fue hasta nueve, entonces

\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{1\leq n\leq 8}C(n)}{9}=\frac{24}{9}=3.\overline{1}

Obtener una fórmula cerrada para la C(n), luce un problema bastante complicado, de hecho lo es. Aún así, sabemos que un número se escribe como su de dos cuadrados si y solo si todos los primos en su factorización que tienen la forma 4k+1 aparecen a una potencia par, esto último fue establecido por Euler en 1738.

Podemos generalizar la función C(n) a C_{k,r}(n), donde C_{k,r}(n) es la cantidad de representaciones de n como la suma de k números, cada uno de los cuales es una r potencia de un entero[1]. Encontrar un comportamiento asintótico para

\sum_{1\leq n\leq N}C_{k,r}(n)

sería bastante interesante…

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Referencias

Notas al pie

[1] Esto está muy relacionado con el problema de Waring. Problema del cual estoy editando una entrada.

3 Comentarios en "El problema…"

  1. mmm…. no la voy a tipear de nuevo… te dejo un link con la solución.

    Animo con el blog!

  2. Excelente blog.

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