Notación

Pondré aquí la notación que se utiliza en este blog, al igual que una lista de funciones en teoría de números. Esta página se actualiza constantemente conforme a se publican entradas.

Relaciones entre funciones

  • f\sim g si \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1
  • Cuando escribimos f=O(g) significa que existe una constante absoluta C>0 tal que |f|\leq C|g|.
  • Cuando escribimos f=o(g) significa \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0.
  • Cuando escribimos f\asymp g singnifica f=O(g)g=O(f). Si esto sucede se dice que el orden correcto de f es g.

Funciones aritméticas

  • \log x, es siempre el logaritmo natural.
  • d(n), es la función que indica cuantos divisores tiene n.
  • \gcd(n,m), el máximo común divisor.
  • \text{lcm}(n,m), el mínimo común múltiplo.
  • \mu(n), es la función de Möbius: 0 si n es divisible por algún cuadrado, 1 si n=1, (-1)^k si n=p_1 p_2\cdots p_k.
  • \varphi(n), es la función de Euler: \varphi(n) es la cantidad de números menores a n que sean primos relativos a n.
  • \zeta(s), es la función zeta de Riemann[1]:

\zeta(s):=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.

  • \pi(x), es la función que cuenta los primos menores a x. El teorema de los números primos afirma que

\pi(x)\sim\displaystyle\frac{x}{\log x}

Este teorema fue demostrado por Hadamard y de la Vallée Poussin de manera independiente[2].


Notas al pie

  • En principio esta función está definida para todo s real mayor estricto a uno, sin embargo, esta se puede extender a todo el plano complejo excepto s=1, en la cual se encuentra un polo. Ya habrá una entrada para este tema.
  • Este teorema guarda una historia realmente Fascinante, historia en la cual está envuelta Atle Selberg, uno de los más grandes matemáticos del siglo XX.

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