Una de las demostraciones mas bonitas de Paul Erdös

Sobra dar una biografía de este gran matemático que aportó mucho a la combinatoria además de la teoría de números. Sabemos que es uno de los matemáticos de mayor producción en la historia con mas de 500 colaboradores (o coautores) y alrededor de 1430 publicaciones según MathSciNet. Hago esta entrada en particular, porque he dado con una demostración de la infinitud de primos, ideada por Erdös, la cual es particularmente bonita.

Teorema. Existen infinitos números primos.


Demostración. Fije un número natural n. Todo número natural m menor o igual a n se puede escribir de la siguiente forma: m=st^2, donde s es un número que no es divisible por ningún cuadrado distinto a uno (es decir, libre de cuadrados). En particular el número uno es libre de cuadrados. Según esto, si consideramos el conjunto

S_n:=\{(s,t)\in\mathbb{N}^2\mid st^2\leq n, s\text{ libre de cuadrados.}\}

Entonces |S_n|=n. Lo que vamos a hacer ahora es encontrar una cota superior para el cardinal de S_n. Esto lo logramos estimando por arriba cuantos posibles valores podemos tomar para la entrada s y cuantos posibles valores podemos tomar para la entrada t. La cantidad máxima de posibilidades para t es \sqrt{n}, este estimativo se obtiene suponiendo que s=1. Ahora, si queremos contar la cantidad de posibles valores para s reescribimos la condición “ser libre de cuadrados” como “ser el producto de distintos primos, todos con potencia a lo sumo uno”. Además, para que se cumpla la condición st^2\leq n, los primos que aparecen en s necesariamente deben ser menores o iguales a n. Entonces, la cantidad de posibilidades para s son todas las posibles combinaciones de productos de distintos primos menores o iguales a n, tal que st^2\leq n para algún número t. Si quitamos la condición st^2\leq n, obtenemos una cota superior para las posibilidades de s, esta cota viene siendo 2^{\pi(n)} donde \pi(n) es la cantidad de primos menores o iguales a n. Entonces 2^{\pi(n)}\sqrt{n}\geq |S_n|=n, lo cual implica, después de tomar logaritmos, \pi(n)\geq \frac{\log n}{2\log 2}. Esto prueba que hay infinitos primos, pues \pi(n)\to\infty cuando n\to\infty.


¿Qué es lo bonito de esta demostración? Lo primero: es una prueba directa, no es una prueba por contradicción. Lo segundo: es totalmente fácil y elemental. Lo tercero: de hecho probamos lo siguiente

Teorema. Para todo natural n, hay mas que \displaystyle\frac{\log n}{2\log 2} primos menores o iguales a n.

Esta es la primera demostración fácil y elemental de una cota no trivial para la función contadora de primos \pi(n) que he leído en todo mi haber. Me costaba creer que una demostración tan sencilla, tuviera una conclusión tan no trivial.


Referencias

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