La disputa entre Selberg y Erdös por el teorema de los números primos.

A mediados del siglo XX dos grandes matemáticos de la era moderna protagonizaron una disputa por uno de los mas grandes resultados conocidos en teoría de números: el teorema de los números primos. Más precisamente, la disputa se generó por la demostración elemental de dicho teorema.

Para ponerlos en contexto, en teoría de números existe la función contadora de primos, denotada por \pi(x). Esta función indica cuantos números primos menores o iguales a x existen. Es decir, \pi(5)=3 y \pi(20)=8. Lo interesante es saber como se comporta esta función. Esta pregunta fue atacada por varios matemáticos, entre los cuales están Gauss y Legendre quienes conjeturaron que \pi(x)\sim x/\log x. Esta conjetura resultó ser cierta y fue demostrada independientemente por De la Vallée Poussin y Hadamard en el siglo XIX. La demostración se basa en el hecho que la función zeta de Riemann no tiene ceros cuya parte real sea igual a uno.

Usar el hecho que no existen ceros de la función zeta con parte real igual a uno hace que la demostración no sea elemental, y requiera de cierto trabajo para comprender conceptos y funciones como lo es la misma función zeta de Riemann. De hecho se llegó a creer que era imposible obtener una demostración elemental de este resultado. Acá debemos hacer una aclaración: elemental es distinto a fácil. Por elemental nos referimos al hecho que la demostración usa técnicas elementales de la teoría de números.

La existencia de una demostración elemental de este resultaba ser casi un imposible. Hardy, en 1921, opinó lo siguiente al respecto:

No se conoce de una prueba elemental del teorema de los números primos, y uno podría preguntar si es razonable creer en la existencia de tal demostración. Ahora sabemos que el teorema es casi equivalente a un teorema acerca de una función analítica; el teorema que dice que la función zeta de Riemann no tiene ceros en cierta linea. Una prueba de tal teorema, la cual no dependa fundamentalmente de las ideas de la teoría de funciones, me parece extraordinariamente poco probable. Es muy imprudente decir que un teorema no se puede demostrar de cierta forma, pero una cosa parece ser clara. Tenemos cierta percepción acerca de la lógica de la teoría; creemos que algunos teoremas se encuentran en lo profundo, mientras que otros muy cerca a la superficie. Si alguien produce una prueba elemental del teorema de los números primos, él demostrará que todas estas creencias son falsas, que todo esto no es como lo hemos supuesto, y que es tiempo para que los libros se hagan a un lado y para que la teoría sea reescrita.

Ya conocido el tema del teorema de los números primos y su demostración, pasemos al año 1948, año en el cual sucede nuestra historia. En ese año Atle Selberg estaba trabajando en métodos de cribado con la finalidad de demostrar que dado \varepsilon>0 entre x y x(1+\varepsilon) existe un número primo si  x es suficientemente grande. Eventualmente se dio cuenta que había un problema al querer usar estos métodos para este problema (el llamado problema de paridad) y empezó a  trabajar en una expresión relacionada con este problema. Eventualmente logró algo, que luego recibió varios nombres: desigualdad fundamental, fórmula fundamental o identidad fundamental:

\displaystyle\sum_{p<x}\log^2 p+\sum_{pq<x}\log p \log q=2x\log x+O(x).

Por esos días Selberg le comentó a Turán acerca de esta fórmula. Turán, por su parte, dio un seminario en el cual habló acerca de algunos trabajos que había desarrollado Selberg. Luego le comentó a Paul Erdös acerca de la fórmula fundamental. Eventualmente Erdös le comentó que creía posible poder derivar el siguiente resultado a partir de la desigualad fundamental:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}}{p_n}=1

Dicho y hecho, Erdös logró demostrar el resultado anterior a partir del resultado de Selberg. Por esos días Selberg se encontraba haciendo algunas diligencias para obtener una visa, sin embargo se logró reunir con Erdös. Erdös le comentó el resultado que había obtenido a partir de la desigualdad fundamental, la respuesta de Selberg fue:

Debes haber cometido un error porque con este resultado puedo obtener una demostración elemental del teorema de los números primos, y yo estoy convencido de que mi desigualdad no es tan poderosa como para lograr eso.

Sin embargo el resultado era correcto. Un viernes de Julio de 1984 Erdös tenía lista la demostración de su resultado (de hecho un resultado un poco mas fuerte que este) y se lo mostró a Selberg, para el domingo, Selberg ya tenía lista una primera prueba elemental del teorema de los números primos. Sin embargo no parecía contento con esta demostración y días después logró otra.

Tiempo después, él viajó a Siracusa y se dio cuenta que por esos tiempos daban todo el crédito de la demostración a Erdös sin mencionarlo a él. Selberg escribó a Erdös acerca de la situación. El problema surge en lo siguiente: deben escribir cada uno un artículo con su resultado, o un artículo conjunto en el cual aparezca la demostración completa. Selberg propuso que cada uno publicara su resultado por aparte de esa forma cada uno

[…] tendrá el crédito por su resultado, y no por lo que el otro hizo.

La respuesta de Erdös fue que deberían colaborar como lo hicieron Hardy y Litlewood en su época. Cosa que no le gustó a Selberg, tanto así que él se preguntaba quien era Hardy y quien era Litlewood en este caso. Mas aún, no parecía justo que se publicara un artículo conjunto cuando Selberg, tiempo después, logró una demostración la cual no usaba el resultado de Erdös, aunque si algunas ideas de la demostración del mismo. Según Weyl, Erdös dijo: What I want is inmortality. La disputa se prolongó un poco mas, con algunos intentos de publicar un artículo de Erdös en el boletín de la sociedad americana de matemáticas.

Todo esto parece darle cierta razón a Selberg acerca de esta situación. Selberg fue un matemático que solo tiene un artículo conjunto (S. Chowla), el resto los hizo solo. Fue un poco egoísta la actitud de Selberg hacia Erdös, a fin de cuentas, él le dio luz al camino hacia la demostración elemental. Sin embargo, hay detalles que hacen que la historia cambie un poco. Cuando Erdös le dijo a Selberg que había logrado demostrar su resultado a partir de su identidad, él intentó a toda costa convencerlo de que no se podía. Tanto así que le mostró un ejemplo de una función que cumplía una identidad de ese estilo pero de la cual no se podía concluir un resultado equivalente a lo que sería el teorema de los números primos. Sin embargo, él no le dijo un pequeño detalle de esta función: era de una naturaleza totalmente distinta, suficiente como para no crear ningún tipo de intuición o sospecha al respecto. La razón es que él, en el fondo, ya tenía su vista puesta en la demostración elemental del teorema de los números primos y no quería interferencia alguna.

Selberg:  Le dije que uno podría obtener un contraejemplo, por decir un análogo a mi identidad y concluir algo distinto. […] De alguna forma intenté espantarlo del teorema de los números primos. Esto fue, podríamos decir, un poco deshonesto el que no le dijera que mi contraejemplo era basado en una función no monótona [Esta es la naturaleza de las funciones que importan]

Entrevistador: Entendemos la psicología muy bien. Sabías que estabas cerca a la prueba del teorema de los números primos y no querías ninguna intromisión.

Selberg: No quería ninguna interferencia en este asunto.


Referencias

  • Excerpt from “The lord of the numbers. Atle Selberg on his life and mathematics”, Nils A. Baas and Christian F. Skau. Disponible en linea: https://www.math.ntnu.no/Selberg-interview/PNT/PNT.pdf
  • The elementary proof of the prime number theorem: An historical perspective, D. Goldfeld. Disponible en linea: http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf

2 Comentarios en "La disputa entre Selberg y Erdös por el teorema de los números primos."

  1. Interesante la Disputa entre Selberg y Erdös. Yo conocía la demostración, pero no sabia que detras de esto habia una drama. El teorema de los números primos es uno de mis teoremas favoritos y entender la demostración es aun mas facinante. Te animos que sigas publicando mas, igual a tí me encanta Teoría de números mas que todo Teoría Analíta de Números. Saludos.

    • Me alegra que te haya gustado la entrada Julian. Coincido contigo, el teorema de los números primos es uno de mis favoritos, y la teoría analítica de números es mi rama favorita.

      Saludos 🙂

Deja un comentario.

Tu dirección de correo no será publicada.

*


A %d blogueros les gusta esto: