Y otra demostración mas de la infinitud de los números primos

Espiral de Ulam. Tomado de Ulam spiral to appear on Sept. 2013 cover of Math Horizons

En nuestra colección de demostraciones, agreguemos esta.


Teorema. Existen infinitos primos

Demostración. Suponga que hay finitos primos, N en total. Escoga K tal que 2^K>(K+1)^N. Considere la función f:\{1,2,3,\dots, 2^K\}\to\{0,1,\dots,K\}^N definida por  f(x)=(k_1,k_2,\dots,k_N) donde p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_N^{k_N}=x es la factorización (única) en primos de x. Es justo ver la razón por la cual la imagen es \{0,1,\dots,K\}^N. Note que x\leq 2^K, luego \log_2 x\leq K. Por otro lado

\displaystyle\log_2 x=\sum_{j=1}^N k_j \log_2 p_j\geq\sum_{j=1}^N k_j \geq\max\{k_1,k_2,\dots,k_N\}

Ahora, por el teorema fundamental de la aritmética, f es una función inyectiva. Razón por la cual es conjunto de llegada debe tener un tamaño mayor o igual al conjuto de salida. Sin embargo, el cardinal de nuestro conjunto de salida es 2^K el cual por hipótesis es mas grande que nuestro conjunto de llegada (K+1)^N. Esto es una contradicción.

Referencia

  • Another simple proof of the infinitude of primes, Dustin G. Mixon, The american mathematical Montly.

3 Comentarios en "Y otra demostración mas de la infinitud de los números primos"

  1. No existe K en los Naturales tal que  2^K>(K+1)^N, con K < N.
  2. escoja K  >  N   en una proporcion; ej  para { N=2 —-> K >=6;    N=3  –> K>=11,…….,}
  3. Que simple y que bonito!

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