Demostrando que la suma de los recíprocos de los primos diverge

Como sabemos, así como la suma de los inversos de los enteros positivos diverge, la suma de los inversos de los números primos también. En esta corta entrada revisaremos una corta demostración de este hecho dada por Dustin G. Mixon en la revista American Mathematical Montly.


Sea p_i el i-ésimo número primo, supongamos que la suma de los inversos de los números primos converge. Existe un valor k tal que

\displaystyle\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}<1.

Sea A el conjunto de todos los números cuyos factores primos son menores o iguales a p_k, sea B el conjunto de todos los números cuyos factores primos son mayores a p_k. Por el teorema fundamental de la aritmética, todo número puede ser representado como el producto ab donde a\in A y b\in B. Notemos ahora que

\displaystyle \sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\sum_{n_1geq 0}\cdots \sum_{n_k\geq 0}\frac{1}{p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}}=\left(\sum_{n_1\geq 0}\frac{1}{p_1^{n_1}}\right)\cdots\left(\sum_{n_k\geq 0}\frac{1}{p_k^{n_k}}\right).

Cada una de las sumas que aparecen en los productos es una suma geométrica, de modo que estas convergen, al ser el radio menor a uno. Es decir, podemos concluir que

\displaystyle \sum_{a\in A}\frac{1}{a}<\infty.

Ahora, sea B_m los elementos del conjunto B con exactamente m factores primos, no necesariamente distintos, entonces, teniendo en cuenta que el primo mas pequeño que aparece en esta factorización es p_{k+1}

\displaystyle \sum_{b\in B}\frac{1}{b}=\sum_{m=0}^\infty\sum_{b\in B_m}\frac{1}{b}\leq \sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}\right)^m.

Según la hipótesis del inicio, la suma

\displaystyle \sum_{i>k}\frac{1}{p_i}=r<1,

de modo que al hacer la suma,

\displaystyle \sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}\right)^m=\sum_{m=0}^\infty r^m<\infty,

nos queda una serie geométrica que converge, es decir

\displaystyle \sum_{b\in B}\frac{1}{b}<\infty.

Ahora, note que

\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}=\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}\frac{1}{ab}=\left(\sum_{a\in A}\frac{1}{a}\right)\left(\sum_{b\in B}\frac{1}{b}\right)<\infty.

Lo cual es una contradicción, dado que la serie armónica diverge.


Referencias

8 Comentarios en "Demostrando que la suma de los recíprocos de los primos diverge"

  1. Fascinante!!!
    Conoces la demostración de Brun sobre la convergencia de la suma de los inversos de los primos gemelos, infortunadamente no he podido encontrarla.

    Saludos.

  2. Para responder a la pregunta de Javier Cortés, basta aplicar el teorema de Brun… Si la serie de los recíprocos de los números primos “aislados” convergiera entonces la serie de los recíprocos de los números primos también serie convergente, contradicción.
    • Efectivamente. Para dar un poco más de detalle: definamos dos familias: A y B. La familia A se compone de todos los primos gemelos, la familia B se compone de todos los primos aislados. Ambas familias son disyuntas, de este modo

       \displaystyle\sum_{p}\frac{1}{p}=\sum_{p\in A}\frac{1}{p}+\sum_{p\in B}\frac{1}{p}

      Siendo que la primera suma es convergente por el teorema de Brun, la segunda suma debe ser divergente. Cordial saludo J.H.S.

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