El número que era primo… pero ya no

Hace un poco más de medio siglo, existía un número que hacía parte de nuestra querida familia de números primos. Conforme pasó el tiempo, sucedieron cosas, las matemáticas fueron evolucionando, se siguieron desarrollando teorías (Como de hecho aún sucede) que fueron excluyendo a un elemento de esa familia. Las matemáticas en general se siguen desarrollando, inconsciente o no, de que en algún momento existió un elemento que estaba entre los selectos, esos números que día a día miles de matemáticos se van de cabeza contra hojas y pizarras, armados de lápiz, marcadores o tizas, con tal de encontrarle propiedades. Esos que vivimos re-descubriendo día a día… porque son los números elegidos, son los distintos, los consentidos, los mimados.

Esta es una breve reseña del uno, y del por qué ya no se considera un número primo.


Euclides


El libro “Los elementos” de Euclides son nuestro primer referente acerca de números primos. En el libro VII encontramos la definición de número primo.

Euclides empieza definiendo lo que es una unidad:

Definición 1[Libro VII – Elementos]. Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una.

A lo que se refiere Euclides es que una unidad (o la unidad en algunos casos) es aquel elemento con el cual construimos otros. Por ejemplo, si nuestra unidad es el siguiente cuadro

unidad

Lo elementos que podemos formar, son todos los que podamos formar a partir de estos

unidad-2

Lo que se debe cumplir es que todo se componga de esta (o estas) unidades. Como lo estipula en la segunda definición

Definición 2[Libro VII – Elementos]. Un número es una pluralidad compuesta de unidades.

El siguiente concepto es el que asociamos a divisivilidad.

Definición 3[Libro VII – Elementos]. Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.

Lo que dice esta definición es que: tengo dos números, uno mayor, otro menor, si puedo decir que el mayor es tantas veces el menor, entonces debe ser que el menor es una parte del mayor. Esa expresión en cursiva, es lo que él llama medir. Esta es la definición que se interpreta del texto de Euclides. Al tratar de buscar la definición precisa no la encontré en el libro.

euclides

Claramente, un número se mide a si mismo (equivalente a decir que un número se divide a si mismo). Lo que nos interesa son los números que miden a otro. Esto es lo que da inicio al concepto de número primo

Definición 12[Libro VII – Elementos]. Un número primo es aquél que sólo es medido por la unidad.

Según esta definición, el número uno es un número primo. Es un buen comienzo para nuestro querido amigo. De momento no hay problema alguno para que sea un número primo. El problema surge en el siguiente paso

Proposición 20 [Libro IX- Elementos]. Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos.


Demostración dada por Euclides.  Supongamos que existen una cantidad finita de primos, llamelos

p_1,p_2,...,p_n

Construya el siguiente número

P=p_1p_2\cdots p_n+1

Entonces P es un número primo o compuesto. Si es primo, esto sería una contradicción con la hipótesis inicial. Si es compuesto, entonces debe existir un primo p_i, que está en los inicialmente listados, que divide a P. Ahora, sabemos que p_i divide a p_1p_2\cdots p_n, entonces debe dividir a la diferencia entre P y p_1p_2cdots p_n. De modo que

p_i|P-p_1p_2\cdots p_n

p_i|1

Esto es una “contradicción”.


La demostración nos hace caer en cuenta que, para Euclides, el número uno no es primo. Pues de ser un número primo, la demostración dada por él no sería correcta, ya que no habría contradicción. Me explico, si p_i|1 entonces p_i=1… y no habría ningún problema, pues uno “es” un número primo. Además… si el número uno fuera primo, habría un problema enorme, y es el siguiente:

En virtud del teorema fundamental de la aritmética, todo número se descompone como producto de potencias de números primos, es decir, el número P construido en la demostración de Euclides se descompone en la forma

P=\displaystyle\prod_{1\leq i\leq m}p_i^{\alpha_i}

Donde p_i es primo para todo valor de i. ¿Cómo se hace para encontrar cuales son esos p_i? Toca mirar cuales son los primos que dividen al número… PERO, la demostración de Euclides muestra que si un número primo lo divide entonces dicho número es uno. De modo que todo primo p_i es igual a uno. Entonces P=1.

Creo que acá es claro el problema que tiene el número uno al considerarse como primo. Sin embargo sería algo que podemos evitar, usando una demostración distinta a la de Euclides. Por ejemplo, demostrando que la suma de los inversos de todos los números primos diverge, allí no es trascendental el hecho de que uno sea primo o no. Otra opción puede ser una que vimos hace un tiempo, en la cual la irracionalidad de pi^2 implica infinitos primos (con ciertos detalles).


El teorema fundamental de la aritmética


Euclides demostró en su libro Los Elementos, el teorema mas importante en teoría de números: El teorema fundamental de la aritmética. Ya he dicho algo acerca de este teorema en el párrafo inmediatamente anterior, sin embargo acá está el enunciado completo, como se conoce hoy día

Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo número entero positivo se puede representar de manera única, como el producto de potencias de primos.

Es gracias a este teorema que los teorístas de números tenemos toda la atención sobre los números primos, ya que esto indica que son los bloques con los cuales están construidos todos los demás números, demostrar propiedades sobre tales bloques, suelen inducir propiedades sobre los números como tal.

Bueno y ¿Qué pasa si el uno es primo? Si el número uno es considerado primo, el teorema fundamental de la aritmética no funciona como tal, no como está escrito. El problema estaría en la unicidad, pues, por ejemplo

35=7\cdot 5=7\cdot 5\cdot 1=7\cdot 5\cdot 1^2=7\cdot 5\cdot 1^3=\cdots

No existiría una factorización única, pues para cualquier número podemos agregar cualquier potencia de el “número primo” uno y sería una nueva factorización.

¿Es importante la factorización única? Sí, has de cuenta que tienes un objeto, y deseas saber cierta propiedad característica de ese objeto, entonces investigas de qué está hecho, y descubres que puede obtenerse, de manera independiente y forma distinta, de un material A y un material B, ambos distintos. Entonces ¿Cómo sabes si guarda características del elemento A y no del elemento B o viceversa? Sin factorización única no nos sirve estudiar los bloques, porque resulta que un número no siempre estaría construido de la misma forma.

Tan importante es la factorización única, que no todos conjuntos (anillos, campos) tienen tal propiedad. Una referencia casi obligada son los campos Ciclotómicos: En 1847 Gabriel Lamé creyó haber demostrado el último teorema de Fermat, sin embargo, dado que no todos los campos ciclotómicos tienen la propiedad de factorización única, su prueba no fue errónea.

¡Divago! Vinimos a hablar del uno.

Es posible modificar la manera en como enuncia el teorema fundamental de la aritmética, de modo que nuestro amigo siga siendo primo.

Teorema Fundamental de la Aritmética (Modificado). Todo número entero positivo se puede representar de manera única, como el producto de potencias de primos mayores a uno.

Problema resuelto.


Definición


Esta es una parte un poco más de razonar. En la primera parte vimos la definición que nos da Euclides, sin embargo hay otras definiciones, por ejemplo.

Definición A. Un número primo es un número que solo es divisible por el número uno y por él mismo.

La definición A genera todos los primos que conocemos sin inconveniente alguno, entre ellos, genera el número uno.

Definición B. Un número primo es un número que solo tiene dos divisores.

Note que la definición A y la definición B no son del todo iguales. La primera incluye el uno como primo, la segunda no. ¿Como que no? Resulta que el número uno, solo tiene un divisor: él mismo.

Definición C. Decimos que un número es primo si no es divisible por ningún otro número primo que sea menor a él en caso de haberlos.

La tercera definición nos deja fuera de banda al número uno, pues de ser primo, sería el único primo. Acá resaltaré lo siguiente, con el cual rebobino algo que ya he comentado


El número uno divide a cualquier número, en particular a un número primo. ¿Cae en nuestra intención de crear el concepto de número primo, que un primo divida a otro? Es decir, si para estudiar las propiedades de los números naturales estudiamos los números primos (ya que los primos componen a los números) Si queremos estudiar los primos ¿estudiamos el uno?


Creo que lo anterior es lo que más puede llegar a incomodar al no excluir el número uno. Observemos el siguiente hecho,

Hecho A. Todo número entero positivo es primo o es compuesto.

Es algo que todos conocemos, si escoges un número cualquiera, o yo encuentro que es primo, o no, en cuyo caso será compuesto. ¿Y el uno?

1. Si incluimos el número uno como primo, entonces no hay problema.

2. Si excluimos el número uno como primo, sucede que tampoco es compuesto ¿Qué es 😕 ?

El número uno tiene un nombre especial, nombre que ya Euclides le había puesto, el número uno se llama Unidad. La primalidad del número uno puede perjudicar otras definiciones.

Definición D. Se define la función mu(N), de la siguiente forma: si escribimos N de la forma

N=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n},

entonces

1. Si \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=1 entonces \mu(N)=1.

2. Si alguno de los valores \alpha_i\neq 1 entonces \mu(N)=0.

Al considerar el número uno como primo, la función estaría mal definida, porque, por ejemplo 15=3\cdot 5=1^2\cdot 3\cdot 5, de este modo

\mu(15)=1 o \mu(15)=0

Claro que, podríamos sanar este problema asumiendo que en la representación de N, se excluye el “número primo” uno

Hay más definiciones que tienen problemas con el número primo. Un ejemplo, es el proceso de cribado de Eratóstenes.

La criba de Eratóstenes consiste en listar números entre los cuales se quieren obtener los primos, se empieza por encerrar el primer número, ese será nuestro primer primo, y se tachan todos los múltiplos de este, ya que serán compuestos. Se procede a encerrar el siguiente número que no fue tachado, y tachamos todos los múltiplos de dicho número… si procedemos de esta forma, al finalizar, los números encerrados son los números primos.

eratos

En este caso, los números en amarillo son primos, los números en rojo son compuestos.

El problema con el uno salta a la vista. De encerrarlo en el primer paso y tachar los demás números, entonces el número uno sería el único valor primo. Pero bueno, la criba de Eratóstenes es un algorítmo, podemos forzar a empezar este proceso desde el valor dos, como es usual, y obtendríamos todos los primos… y por qué no, también el uno.


Teoremas y algunos resultados


A decir verdad, podría listar varios teoremas y resultados en general acerca de números primos, en los cuales hay un problema con el hecho de que el número uno sea primo, pero se puede arreglar modificando las hipótesis establecidas.

Lema. Sea \varphi(N), donde N es un entero positivo, la cantidad de números positivos menores a N tales que son primos relativos a N, es decir

\varphi(m) = |{n \in\mathbb{N} | n \leq m \text{ y } \gcd(m, n) = 1 }|.

Entonces, para todo número primo p,

\varphi(p)=p-1.

En el caso anterior, si el número uno es primo varphi(1)=0. Eso es falso.

Teorema. La función \varphi cumple la siguiente igualdad para todo n\geq 1

\varphi(n)=n\displaystyle\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right),

donde el producto es sobre todos los primos que dividen a n.

Entonces, \varphi(n)=0 para todo n, si el uno fuera primo.

Teorema. La función zeta de Riemann cumple la siguiente igualdad para todo s>1

\displaystyle\sum_{nge 1}frac{1}{n^s} = \prod_{p} frac{1}{1-p^{-s}}

donde el producto es sobre todos los primos.

Si p=1, obtenemos una división entre cero al lado derecho de la igualdad.

Bueno, y así puedo quedarme por mucho tiempo. Pero hay un detalle que debemos hacer notar acá:

Claramente habrá un problema con asumir el número uno como primo… pues toda esta teoría fue construida excluyendo el número uno.

La verdad no toda la teoría de números, como la conocemos, fue construida excluyendo el número uno. Esta convención de excluir el número uno de la familia de números primos, fue algo que se viene considerando desde el siglo XIX. Existen trabajos en los cuales el número uno es primo, y no dejan de ser valederos por ese hecho.

Un ejemplo es el matemático alemán Moritz Abraham Stern. Una de las conjeturas de Goldbach, afirma que todo número impar puede escribirse de la forma p+2a^2, donde p es un número primo y ageq 0 es un número entero. Stern trabajó en esta conjetura, encontrando que los números 5777 y 5993 no se pueden representar de tal forma. De hecho, el encontró todos los números primos que no pueden representarse de tal manera. Todo este trabajo bajo la hipótesis: Uno es un número primo. Aún así, al dejar de considerar tal valor como un número primo, estos resultados siguen siendo ciertos.


Conclusión


Ya hemos mostrado argumentos por los cuales el uno no puede ser primo con la teoría moderna, pero también hemos mostrado que todo esto se puede evitar, agregando el número uno como primo y reconsiderando hipótesis y/o demostraciones, por las cuales todo funciona como siempre. Entonces llegamos a la pregunta clave.

¿Por qué el número uno, en la actualidad, no es primo?

La respuesta es: Por convención.

Para la teoría de números, asumir que el número uno es primo, no aporta nada significativo, al contrario, complica definiciones y teoremas, pues nos saca de un estado natural de percibir las cosas. Como lo indiqué hace algunos parrafos

Por tercera o cuarta vez aclaro, se puede hacer teoría de números usando el número uno como primo, se puede sin problema alguno. Pero el aporte que da dicho valor no es significativo.


Actualización. Via Twitter, Emilio me ha notificado lo siguiente


Según parece, justo hoy que he publicado esta entrada, en uno de los programas de España llamado “Saber y Ganar” se ha cometido el error de considerar el número uno como primo. Les dejo el video del programa en cuestión, el percance sucede en el minuto 10:24.


Referencias

5 Comentarios en "El número que era primo… pero ya no"

  1. durante el tiempo que llevo estudiando matemáticas , yo siempre he considerado al numero 1, como el único elemento que solo tiene un divisor, es decir es divisible por si mismo he tenido en cuenta que la unidad es la única cantidad muy importante, como en el caso teorema fundamental de la aritmética, todo numero natural se puede factorizar en potencias de números primos, una de esas potencias es el 0, y el 1 como tal tiene la importante propiedad de ser la potencia nula de cualquier numero primo, por lo tanto es fundamental y no cabria razón de descartarlo dentro las teorías relacionadas con los números primos, es mi opinion
    • Hola Johney, gracias por visitar el blog.

      Interesante punto de vista. Sin lugar a dudas el número uno tiene propiedades interesantes y es fundamental en nuestro sistema numérico. Como te decía en el post, todo se resume a cuestión de convenciones, se puede hacer teoría de números considerando el uno como un número primo.

      La razón para descartar dicho número como primo es por comodidad, ya que al considerarlo, tocaría tener en cuenta que ciertas ecuaciones, ciertos teoremas, etc. deberían escribirse de manera cuidadosa, evitando problemas que podrían generarse al considerar el número uno. Es una situación similar a aquello de cero elevado a la cero.

      Gracias de nuevo por la visita. Espero sea de tu agrado, un cordial saludo 🙂

  2. Felicitaciones! Excelente blog. Satisface mi curiosidad por los números. Soy un autodidacta, aficionado a los números. He publicado en el arxiv un artículo sobre la distribución de los números primos que se puede ver aquí http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1304/1304.5262.pdf ó también aquí https://docs.google.com/file/d/0B0aVaPjfCtc3em5kRnlMeVdmMTA/edit?usp=sharing&hl=es&forcehl=1
    Saludos a todos desde Colombia.
  3. Buen post!,

    hay un detalle que no está bien en el párrafo:

    “PERO, la demostración de Euclides muestra que si un número primo lo divide entonces dicho número es uno. De modo que todo primo p_i es igual a uno. Entonces P=1.”

    Realmente es solo para todo primo p_i de la lista finita de las hipótesis de la demostración de Euclides. Lo cual no te garantiza que todos los primos que encontraste por el teorema fundamental de la Aritmética en el número P, sean igual a 1, pues puede haber primos que no estén en la lista finita.

    Otra cosa, respecto al teorema fundamental de la Aritmética, cuando lo generalizas a estructuras como anillos, la versión que se usa es “factorización única salvo unidades”, pues las unidades, al ser los elementos que tienen inverso, dividen al 1. Las estructuras que “cumplen el teorema fundamental de la aritmética” les llaman dominios de factorización única.

    Regresando a la prueba de Euclides, se puede ajustar para que incluya al 1 como primo: así como la tienes llegas a que todos los primos p_i son 1, y entonces el primo P=p_1…p_n+1=2 y has construido un primo distinto de los(el) que tenías, paso dos, toma n primos y suponte que alguno es distinto de 1 una inducción y la prueba de euclides sigue funcionando.

    hmmm.. quizá ya me estoy desviando del objetivo de tu post! jejeje
    Saludos

    • ¡Hola Dragón! Me alegra que te haya gustado el post 🙂

      Respecto a la primera observación, en este caso sí serían todos los números primos. Debido a qué, por hipótesis, se está asumiendo que esa lista finita son todos los números primos. ¿Me hice entender? La demostración comienza asumiendo que existe una cantidad finita de primos, y que esa cantidad finita está listada desde p_1 hasta p_n. Todo está razonado en ese contexto; en el contexto, hay finitos primos.

       

      Tu segunda observación es la versión constructiva de números primos, es una versión interesante, porque logra demostrar, que a partir una cierta cantidad de primos, podemos construir un primo más grande.

      Acerca de los Dominios de factorización única, tengo eso entendido, la observación era que dichos campos ciclotómicos no la cumplen.

      Gracias por leer el blog, hasta pronto.

      Un cordial saludo desde Colombia.

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