Demostrando que raíz de 2013 es irracional

Una como para levantar ánimos y sacudir la pereza.


Supongamos que es racional, entonces, escriba

\sqrt{2013}=\displaystyle\frac{a}{b}

donde ay b son primos relativos. Entonces podemos deducir que

2013=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}

b^2 2013=a^2.

Dado que 3|2013 entonces 3|a^2. De modo que existe s<a tal que a^2=9s^2. Sustituyendo

b^2 2013=9s^2.

b^2 671=3s^2.

Como \gcd(3,671)=1, entonces 3|b^2, luego existe t<b tal que b^2=9t^2. Sustituyendo

9t^2 671=3s^2.

3t^2 671=s^2.

t^2 2013=s^2.

2013=\displaystyle\frac{s^2}{t^2}

\sqrt{2013}=\displaystyle\frac{s}{t} .

Esto es una contradicción, ya que tanto s y t son menores a a y b respectivamente… De hecho ya es una contradicción el hecho de que 3|a y 3|b, dado que por hipótesis a y b eran primos relativos.


😀

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