El teorema de Midy

Entre la cantidad de resultados obtenidos en teoría de números, cada vez encontramos uno que otro resultado que te deja algo perplejo, ya sea por su demostración, ya sea por su trascendencia, o por lo que dice propiamente el teorema.

En esta entrada está uno de esos resultados, quizás no tanto por su trascendencia o por su demostración… en este caso es mas por lo que dice.


El teorema de Midy: El curioso teorema en estado de latencia


El teorema de Midy nos habla acerca de una propiedad que cumple la expansión en decimales de ciertas fracciones. Propiamente, este teorema dice

Teorema: Sea a/p una fracción, donde a<p y p>5 es un número primo. Suponga además, que esta fracción, tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el periodo es par, esto es

\displaystyle\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2\cdots a_{2k-1}a_{2k}}

Si dividimos el periodo en dos mitades (los primeros k y los últimos k, a esta acción la llamaremos dividir en bloques) y los sumamos, obtenemos un número que consiste en solo nueves.

Bueno, hagamos un ejemplo para ver con precisión qué nos dice este teorema.

Veamos la fracción 1/7. La expansión decimal de esta fracción es

\displaystyle\frac{1}{7}=0.\overline{142857}

El periodo se compone de una cantidad par de dígitos, 6, llamaremos a esto la longitud del periodo, entonces tomemos el número y dividamos en dos bloques, los 3 primeros y los 3 últimos: 142 y 857, al sumarlos, dan

999

Otro: 3/17. En este caso

\displaystyle\frac{3}{17}=0.\overline{1764705882352941}

La longitud del periodo es 16, tomemos entonces los 8 primeros y los 8 últimos: 17647058 y 82352941, al sumarlos obtenemos:

99999999

¡Ya lo viste! Este teorema nos habla de una curiosa propiedad que guardan esta clase de números. Este resultado fue demostrado en 1836 por el matemático frances E. Midy y permanecío así, como un resultado más por mucho tiempo.

Después de muchos años aparecieron generalizaciones, como las que vienen. Antes, llamemos número de Midy a todo número que cumple la propiedad dicha. Es decir, su periodo se compone de una cantidad par de dígitos y, al dividirlo en dos bloques iguales y sumándolos da un número que se compone de solo nueves.

Teorema (Generalizacion del teorema de Midy): Sean a y N enteros positivos, con N>1 y \gcd(N,10)=1 y 1\leq a<N. Asuma que a/N tiene una expansión en decimales con un periodo de longitud par. Entonces si

  • N es primo, o
  • N es potencia de un primo, o
  • \gcd(N,10^k-1)=1

Entonces a/N es un número de Midy.

Este teorema nos da una alta gama de números de Midy. Estos teoremas, dan como premisa que el periodo tenga longitud par, para así poder decir que son números de Midy, sin embargo existen algunos que no necesitan de tal hipótesis. Por ejemplo,

Teorema: Sea a/m una fracción tal que 1\leq a<m. Si m divide a 10^p+1 para algún número primo p, entonces a/m es un número de Midy.

Por ejemplo, las fracciones 1/90912/90913/90914/9091, …, 9088/90919089/90919090/9091 son números de Midy, dado que 9091|10^5+1, de modo que se cumplen las condiciones del teorema con p=5.

Acá hay otro resultado,

Teorema: Sea a/p una fracción tal que 1\leq a<p. Si p es un número primo y además,

10^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \bmod p.

Entonces a/m es un número de Midy.

Por ejemplo, puesto que 17 es un número primo que cumple la congruencia dada, las fracciones 1/17, 2/17, 3/17, …, 15/1716/17 son números de Midy.

Algo que cabe resaltar en estos dos últimos teoremas es que la responsabilidad de ser número de Midy recae en el denominador… no se exige una condición significativa sobre el numerador. He aquí otro teorema de este estilo,

Teorema: Sea a/m una fracción tal que 1\leq a<m. Si m es un primo de Fermat mayor a cinco, entonces a/m es un número de Midy.

Pero las generalizaciones no quedan allí. Se ha demostrado, además, que en el caso en que la fracción es de la forma \frac{1}{p} donde p es primo, y además, si la cantidad de dígitos que compone el periodo es de 3n para algún valor de n natural, al tomar 3 bloques de a n dígitos y sumar… obtenemos un número que se compone de solo nueves. ¡Ejemplo por favor!

Estudiemos el número 1/31,

\displaystyle\frac{1}{31}=0.\overline{032258064516129}.

El periodo se compone de 15 dígitos, esto es 3\cdot 5, de modo que dividiremos el periodo en tres bloques de a 5 dígitos,

03225,

80645,

16129,

Al sumar, obtenemos 999999. En este último resultado es necesario que el numerador sea uno, un contra-ejemplo sería 10/19, en este caso

\displaystyle\frac{10}{19}=0.\overline{526315789473684210}.

La longitud del periodo es 18, que es 3\cdot 6, pero al dividirlos en tres bloques de a seis obtenemos

526315+789473+684210=1999998.

Aunque curiosamente, si se suman el uno y el ocho se obtiene un nueve…

Este último resultado, en el cual la longitud del periodo es un multiplo de tres, fue demostrado por Brian Ginsberg en 2005.


Números r-Midy: El despertar de un teorema


Antes de proseguir, vamos a dar una nueva definición

Definición: Dada una fracción a/N decimos que esta fracción es r-Midy, si, al dividir el periodo de su expansión decimal en bloques de a r, y sumarlos obtenemos un número que se compone nueves.

De este modo, 1/31 es 3-Midy. Además 1/7 también es 3-Midy, puesto que

\displaystyle\frac{1}{7}=0.\overline{142857}.

Y al dividir en tres bloques obtenemos

14+28+57=99.

La fracción 1/127 es una fracción 7-Midy, puesto que

\displaystyle\frac{1}{127}=0.\overline{007874015748031496062992125984251968503937}.

Al dividir en bloques de a siete obtenemos

007874+015748+031496+062992+125984+251968+503937=999999

Esta definición nos pone a pensar en criterios por los cuales podamos decir si un número es r-Midy. ¡Sí lo hay!

En el año 2005, Ankit Gupta y B. Sury generalizaron el teorema de Midy para cualquier cantidad de bloques, quedando así totalmente resuelto este caso (1/p). Los resultados que ellos obtuvieron se logran con algo de teoría de grupos no muy avanzada, es una demostración elemental (puedes verla acá). Cabe resaltar que en este artículo solo se habla del caso 1/p, el numerador debe ser uno.

Uno de los corolarios que obtuvieron fueron estos

Corolario: Si p=2^n-1 es un primo de Mersenne, entonces 1/p es n-Midy.

Esta es la razón por la cual el ejemplo anterior es 7-Midy, pues 127=2^7-1. Además, de 1/7 (7=2^3-1), así que la fracción 1/7 es 3-Midy. La fracción 1/31 es 5-Midy

032+258+064+516+129=999.

Pero esto no solo queda allí, además, los números primos de Sophie Germain, también cumplen una igualdad tipo r-Midy.

Corolario: Sea l un número primo de Sophie Germain (es decir, p=2l-1 también es un número primo), el periodo de 1/p es de longitud ld para algún valor d, entonces existe un valor a>1, tal que, si dividimos el periodo de 1/p en l bloques, al sumarlos obtenemos un d(10^a-1) (Note que 10^a-1 es un número que se compone de solo nueves).

Por ejemplo, el número 11 es un número primo de Sophie Germain, dado que 23=2\cdot 11-1 es un número primo, veamos la expansión en decimales de 1/23

\displaystyle\frac{1}{23}=0,\overline{0434782608695652173913}

El periodo se compone de 22 dígitos, es decir, dado que en este caso l=11, el valor de d es dos. Vamos a dividir en once bloques y sumaremos

04+34+78+26+08+69+56+52+17+39+13=396=4\cdot 99=4(10^2-1)

Es posible que te estés preguntando cómo calcular el valor de d en el anterior corolario. Bueno… podríamos, una vez hemos sumado los bloques, dividir entre 10^a-1 y saber cuanto vale d, pero, ¿Como saberlo de antemano? Existe una forma de hallarlo, que está en el artículo dicho. Antes de eso, daremos algunas definiciones (véase la definición de grupo y sub-grupo)

Definición: Sea p un número primo y sea l>1 un divisor de p-1. Defina G(p,l) como el Sub-Grupo de {1,2,\dots, p-1}=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* (el grupo multiplicativo) que consta de representantes del único sub-grupo de orden l. Entonces defina

M(p,l)=\displaystyle\sum_{x\in G(p,l)}x.

La existencia de dicho sub-grupo está asegurada por el hecho de ser (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* un grupo abeliano. Ahora sí, el teorema de Midy en su máxima expresión (por ahora).

Teorema: Sea p un número primo mayor a cinco, suponga que l>1 es un número natural tal que la longitud del periodo de 1/p es ld para algún valor d natural. Si dividimos el periodo de en l bloques de d dígitos y los sumamos, el resultado será

r(10^d-1).

Donde el valor de r está dado por

r=\displaystyle\frac{M(p,l)}{p}.

Como ejemplo ilustrativo aplicaremos este teorema al número primo 29.


Ejemplo con p=29


En este caso el valor de p es 29, la longitud del periodo es 28=2\cdot 2\cdot 7. El generador del grupo multiplicativo (\mathbb{Z}/29\mathbb{Z})^* es dos, porque dos es raíz primitiva módulo 29. Vamos a ver, caso por caso, los posibles valores que puede tomar l, esto dará todas las posibles longitudes que pueden tomar los bloques del periodo. Calcularemos el resultado que se obtendría al sumar los bloques usando el anterior teorema.

\boxed{\text{Caso: }l=2}: El valor que tendría d en el teorema sería d=28/2=14. Como 2^{28}\equiv 1\bmod 29, entonces (2^{14})^2\equiv 1\bmod 29, de modo que 2^{14} es el generador de un sub-grupo de orden 2 en (\mathbb{Z}/29\mathbb{Z})^*, 2^{14}\bmod 29=28, entones el sub-grupo de orden dos en (\mathbb{Z}/29\mathbb{Z})^*, es {1,28}. El procedimiento anterior es la forma en la cual se encuentran los sub-grupos, dado el divisor del orden, en un grupo de estas caracteristicas.

De este modo M(29,2)=1+28, concluyendo que r=29/29=1.

De esto se concluye, según el teorema, que si dividimos el periodo de 1/29 en dos (l=2) bloques de a catorce números (d=14), al sumarlos obtendremos como resultado:

1(10^14-1)=99999999999999

\boxed{\text{Caso: }l=4}: El valor que tendría d es d=28/4=7. Como 2^{28}\equiv 1\bmod 29, entonces (2^7)^4\equiv 1\bmod 29, de modo que 2^7 es el generador de un sub-grupo de orden 4 en (\mathbb{Z}/29\mathbb{Z})^*, 2^7\bmod 29=12, entonces el sub-grupo de orden cuatro en (\mathbb{Z}/29\mathbb{Z})^*, es {1,12,28,17}. De este modo M(29,2)=1+12+28+17=58, concluyendo que r=58/29=2. De esto se concluye, según el teorema, que si dividimos el periodo de 1/29 en cuatro (l=4) bloques de a catorce números (d=7), al sumarlos obtendremos como resultado:

2(10^7-1)=2(999999999)=1999998

\boxed{\text{Caso: }l=7}: En este caso d es 28/7=4. Como (2^4)^7\equiv 1\bmod 29, 2^4 es el generador de un sub-grupo de orden 7 en (\mathbb{Z}/29\mathbb{Z})^*, 2^7\bmod 29=16, entones el sub-grupo de orden siete en (\mathbb{Z}/29\mathbb{Z})^*, es {1,7,16,20,23,24,25}. De este modo M(29,2)=1+7+16+20+23+24+25=116, concluyendo que r=116/29=4. De esto se concluye, según el teorema, que si dividimos el periodo de 1/29 en siete (l=7) bloques de a cuatro números (d=4), al sumarlos obtendremos como resultado:

4(10^4-1)=4(9999)=39996

\boxed{\text{Caso: }l=14}: Acá d es 28/14=2. Como (2^2)^{14}\equiv 1\bmod 29, 2^2 es el generador de un sub-grupo de orden 14 en (\mathbb{Z}/29\mathbb{Z})^*, de esta manera, el sub-grupo de orden catorce es {1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28}. De este modo M(29,2)=1+4+5+6+7+9+13+16+20+22+23+24+25+28=203, concluyendo que r=203/29=7. De esto se concluye, según el teorema, que si dividimos el periodo de 1/29 en catorce (l=14) bloques de a dos números (d=2), al sumarlos obtendremos como resultado:

7(10^2-1)=7(99)=693

\boxed{\text{Caso: }l=28}: El valor d es 28/28=1. En este caso el sub-grupo va a ser el grupo completo. De este modo

M(29,28)=1+2+3+\dots+26+27+28=\frac{29\cdot 28}{2}=29\cdot 14,

concluyendo que r=29\cdot 14/29=14. De esto se concluye, según el teorema, que si dividimos el periodo de 1/29 en veinte y ocho (l=28) bloques de a un número (d=1), al sumarlos obtendremos como resultado:

14(10^1-1)=14(9)=126


¡Excelente! Este teorema la verdad que es bien interesante, además, transforma el problema a cómo calcular el valor M(p,l). En el mismo artículo está demostrada una fórmula para poder calcularla

Proposición: Sea p un número primo, sea l un número que divide a p-1, sea b un elemento de orden l en el grupo multiplicativo (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*. Entonces la siguiente fórmula se cumple

\displaystyle\frac{M(p,l)}{p}=\frac{b^n-1}{p(b-1)}+\left[\frac{b^{n-1}}{p}\right]+\sum_{i=1}^{\left[\frac{b^{n-1}}{p}\right]}[\log_{b}(ip)],

donde [\cdot] es la parte entera de un número.


Regresando al plano en el cual solo queremos que sean número de Midy (o sea, solo dividir en dos bloques). Los últimos resultados que hemos hecho solo nos hablan de el caso en el cual el denominador es primo. Sin embargo existen resultados para los cuales el denominador puede ser compuesto. Dado un número n, conociendo ciertas características acerca de los primos que lo componen podemos saber si 1/n es de Midy o r-Midy, o no. Veamos,

Teorema (H. W. Martin): Sea n un entero positivo primo relativo a diez, de modo que la longitud de 1/n es k=ab donde b>1. Si para todo factor primo p de n el entero a no es un múltiplo de la longitud del periodo de 1/p, entonces 1/n es b-Midy.

Hay un teorema que caracteriza totalmente a todos los números que son de Midy, este teorema fue demostrado por Schölmilch en 1880 y recita de esta forma:

Teorema (Schölmilch): Sea n un entero positivo primo relativo a diez. La fracción 1/n es un número de Midy si y solo si existe un número j tal que n divide a 10^j+1.

Dado el caso en que n no sea primo relativo a diez, basta con extraer ese factor y utilizar el teorema para ver si es un número de Midy.

Interesante es saber si esta propiedad perdura cuando se eleva al cuadrado, al cubo o a alguna otra potencia. Es decir, dada 1/n un número que es de Midy, ¿es 1/n^2 o 1/n^3 un número de Midy? En el artículo de Harold W. Martin se demuestra este hecho, y no solo para potencia dos o tres: para cual quier potencia

Teorema: Sea n un número tal que 1/n es de Midy. Entonces, 1/n^r es de Midy para cualquier valor de r.

Interesante es también, conocer un criterio que nos indique cuando el producto de dos números de Midy, es un número de Midy… desafortunadamente no encontré información.


Números de Midy en cualquier base numérica


Todos los resultados que hemos visto, y algunos más, componen un módulo que llamaríamos: El teorema de Midy base 10. Como has de sospechar, existen resultados similares en otras bases numéricas.

Analicemos algunas fracciones en algunas bases distintas a diez, con el fin de visualizar la clase de teoremas que veremos mas adelante. Estudiemos la fracción (1/19)_8. Ese ocho de abajo indica que hemos cambiado el sistema decimal al sistema octal, y en su defecto, que el número será interpretado en el sistema numérico con el sub-índice como la base. Este número tiene por periodo,

\displaystyle\frac{1}{19}_8=0.\overline{032475}_8.

Al dividir el periodo en dos bloques y sumar, todas las operaciones en base ocho, obtenemos

032_8+475_8=777_8.

Note además que 777=(8^3-1)_8. Miremos la fracción (1/61)_{12},

\displaystyle\frac{1}{61}_{12}=0.\overline{0243B2683192B4B}_{12}.

En este caso el periodo tiene longitud quince, vamos a dividirlo en tres bloques y sumarlos

0243B_{12}+26831_{12}+92B4B_{12}=BBBBB_{12}.

Parece ser entonces que en otras bases también se cumplen propiedades tipo Midy. El siguiente teorema fue demostrado por Juan B. Gil y Michael D. Weiner. Ambos lograron llevar el teorema de Midy a una base distinta al sistema decimal.

Teorema: Sea p un primo impar, sea b>1 un entero tal que (p,b)=1. Sea l la longitud del periodo de la fracción 1/p en base b. Sea d un número que divide a l. Dividamos el periodo de 1/p en d bloques y sumemos todos los bloques, la suma en base b, entonces

  • Si d es par, la suma será igual a el producto de un número cuyos dígitos son todos (b-1), multiplicado por d/2
  • Si d=3, la suma es un número cuyos dígitos son todos (b-1). Es decir, la fracción es 3-Midy en base b.

En el ejemplo que coloqué, (1/61)_{12}, tenemos que p=61, b=12, que son primos relativos, l=15 y d=3, por tal razón es seguro que al sumar los bloques obteníamos una cadena de (12-1)_{12}=B.

Más aún, existe un teorema que los caracteriza totalmente. Este teorema fue demostrado por Gilberto García y Hernán Giraldo en 2009, y dice lo siguiente.

Teorema: Sea n un número entero mayor a uno, sea b>1 un entero tal que (n,b)=1. Sea l=kd la longitud del periodo de la fracción 1/n en base b. Dividamos el periodo de 1/n en d bloques y sumemos, en base b. Entonces, la suma es un múltiplo de

\underbrace{(b-1)(b-1)\cdots (b-1)(b-1)}_{k\text{-Veces}},

si y solo si, el periodo de la fracción, en base b, es divisible por b^k-1.

Por ejemplo, tomemos n=61, b=12, d=3 y k=5, como en el ejemplo anterior. El periodo está dado por 0243B2683192B4B_{12}, al hacer la división

\displaystyle\left(\frac{0243B2683192B4B}{BBBBB}\right)_{12}=243B29071_{12}.

De este modo podemos asegurar que el producto dará múltiplo de BBBBB… que de hecho da propiamente ese número.

El artículo de Joseph Lewittes, también trata este tema, dando algunos criterios por los cuales, dado un número y dada la base, se puede determinar propiedades como las vistas. Los artículos citados contienen además otros resultados que no fueron incluídos en esta entrada. Todos esos, además de estos: Pseudoprimes stronger than strong pseudoprimes, On a particular case of the Dirichlet’s theorem and the Midy’s property, Structure of associated sets to Midy’s Property, hablan acerca de diferentes propiedades acerca de números de Midy.

Es casi toda un teoría la que se ha construido acerca de el teorema de Midy, teorema que Rademacher y Toeplitz,  clasificaron como “[…]una propiedad más divertida que significativa.”



Véase también

Referencias

  • Midy’s theorem for periodical decimals, Joseph Lewittes, Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, Vol. 7, (2007).
  • A theorem on repeating Decimals, Leavitt, William G, University of Nebraska Lincoln, Faculty Publications, Department of Mathematics. Paper 48 (1967)
  • Generalizations of Midy’s theorem on repeating decimals, Harold W. Martin, Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, Vol. 7, (2007), A03.
  • Decimal expansion of 1/p and subgroup sums, Ankit Gupta y B. Sury, Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, Vol. 5, (2005), A19.
  • Characterizations of Midy’s property, Gilberto García-Pulgarín y Hernán Giraldo, Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, Vol. 9, (2009). p. 191-197.
  • On Cyclic numbers and an extension of Midy’s theorem, Juan B. Gil y Michael D. Weiner, arXiv:math/0605347 [math.NT].
  • Rademacher, H. and Toeplitz, O, The enjoyment of mathematics: Selections from mathetatics for the amateur, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957, p. 158-160.


Nota interesante: Al escribir esta entrada, todos los cálculos los he hecho usando la página Wolfram Alpha. He caído en cuenta de algo bastante curioso que hace este portal al momento de indicar el periodo de una fracción. Calculemos, por ejemplo, 1/127 (Míralo Acá), el resultado es este

w-pro1

Según Wolfram Alpha, el periodo es el valor 787401574803149606299212598425196850393700. Siendo ese el periodo, y dado que 127 es un primo de Mersenne con n=7, tenemos que este número debe ser 7-Midy, luego dividiendo en siete bloques iguales y sumando obtenemos,

787401+574803+149606+299212+598425+196850+393700=2999997.

¿Quiere decir esto que el resultado que acabé de mostrar, que habla acerca de los primos de Mersenne, es falso? A decir verdad el problema está en Wolfram Alpha.

Esta fracción ya la había utilizado como ejemplo para dar la definición de número r-Midy. En dicho ejemplo el periodo está escrito de otra forma: el periodo incluye los dos ceros iniciales. De esta forma, sí da el resultado que queremos. Y es curioso, pues a decir verdad, ambas formas parecen ser correctas; ambas representan el mismo valor,

\displaystyle\frac{1}{127}=0.\overline{007874015748031496062992125984251968503937}

\displaystyle\frac{1}{127}=0.00\overline{787401574803149606299212598425196850393700}.

Así como podemos decir qué:

\displaystyle\frac{1}{3}=0.overline{3}=0.3overline{3}=0.33overline{3}=0.333overline{3}=...

La pregunta sería: ¿siempre influye la representación a la hora de verificar si un número es de Midy (o en su caso r-Midy)? Pasa que no siempre, en la entrada que acabas de leer, al hacer la fracción 1/31 sucede lo mismo. En tal caso, sí incluí el valor de cero, es decir, en vez de tomar:

\displaystyle\frac{1}{31}=0.0\overline{322580645161290},

como Wolfram Alpha me lo siguiere, tomé

\displaystyle\frac{1}{31}=0.\overline{032258064516129}.

En el primer caso la regla de ser un número 3-Midy también se cumple

32258+06451+61290=999999.

Así que sería conveniente unificar criterios a la hora de verificar si un número es de Midy o no.

El problema no reside en qué es un número periódico, sino en como representarlo, puesto que varias representaciones dan el mismo número. La definición de un número (decimal) periódico se puede dividir en dos:

Decimal periódico puro: “Número decimal periódico puro es el número decimal en el cual la cifra o grupo de cifras que se repiten empieza inmediatamente después de la coma.”

Por ejemplo 1/3=0.\overline{3} es periódico puro.

Decimal periódico mixto: “Número decimal periódico mixto es el número decimal en el cual la cifra o grupo de cifras que se repiten no empieza inmediatamente después de la coma.”

Ejemplo: 14/15=0.9\overline{3} es periódico mixto.

Con estas definiciones podemos solucionar nuestro problema, ¿como? Representando un número periódico según sea su forma: puro o mixto.

PD: Caí en cuenta de este detalle de el susto que me di al ver que no me daban los cálculos para 1/127 :P.

1 Comentario en "El teorema de Midy"

  1. Muy bueno tu artículo y me alentó a seguir un seminario de este tema.

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