Demostrando que raíz de 2 es irracional: Ternas pitagóricas

¡Ajá! Una demostración mas…


Suponga que raíz de dos es racional. Escriba

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q},

donde p y q son primos relativos. Entonces, pasando q a multiplicar y elevando al cuadrado, obtenemos

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q}

q\sqrt{2}= p

2q^2= p^2

\boxed{q^2+q^2= p^2}.

De modo que la terna (q,q,p) es una terna pitagórica.

Como es una terna pitagórica existen m y n números naturales, con m>n, tal que

q=m^2-n^2

q=2mn

p=m^2+n^2

Por la segunda igualdad obtenemos que q es par, entonces, observando la primera vemos que m y n deben tener la misma paridad.

Caso 1. m y n son impares. En este caso m=2m_1+1n=2n_1+1, de modo que desarrollando la última igualdad, quedaría como

p=4m_1^2+4m_1+4n_1^2+4n_1+2

De modo que p es par al igual que q. Esto es una contradicción ya que son primos relativos.

Caso 2. m y n son pares. En tal caso m^2 y n^2 son ambos pares, luego m^2+n^2 es par, concluyendo que p es par al igual que q. Pero p y q son primos relativos. Contradicción.


Una demostración que no propone nada del otro mundo… pero es una demostración :D.



Referencias

  • Terna Pitagórica , Wikipedia. Consultada el 29 de septiembre de 2013 a la 1:34amTerna pitagórica.


Véase también

2 Comentarios en "Demostrando que raíz de 2 es irracional: Ternas pitagóricas"

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