60 lo divide

Les dejo el problema de la semana

Sean a,b y c tal que a^2+b^2=c^2. Comprobar que 60|abc.

¡Feliz semana!

1 Comentario en "60 lo divide"

  1. A. abc es divisible por 3.

    Si alguna entrada de (a,b,c) es divisible por 3, terminamos. En otro caso c^{2} = a^{2}+b^{2} es igual con 2 en módulo 3, pero esto es imposible pues los cuadrados de los enteros que no son divisibles por 3 son 1 en módulo 3.

    B. abc es divisible por 5.

    Si alguna entrada de (a,b) es divisible por 5, terminamos. En otro caso, c^{2} = a^{2}+b^{2} es igual con 0, 2 ó 3 en módulo 5. En el primer caso hay nada más que hacer pues tendríamos 5 | c, de donde se desprende que 5 | abc. Los otros dos casos son imposibles pues los cuadrados perfectos son 0, 1 ó 4 en módulo 5.

    C. abc es divisible por 4.

    S alguna entrada de (a,b) es divisible por 4, terminamos. En otro caso o ambas entradas son pares o exactamente una de las dos lo es. En el segundo caso tendríamos que c^{2} = a^{2}+b^{2} es igual a 5 en módulo 8, lo cual es ciertamente imposible pues los cuadrados perfectos son 0, 1 ó 4 en módulo 8. En el primer caso la conclusión deseada es automática.

    El resultado se sigue ahora de A, B, C y del hecho que mcd(3,4,5) = 1. QED.

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