Es cuadrado perfecto

Les dejo el problema de la semana

Sea n>1 un numero entero y p número primo tal que n divide a p-1 y p divide a n^3-1. Mostrar que 4p-3 es un cuadrado perfecto.

 

1 Comentario en "Es cuadrado perfecto"

  1. Se cumple que 1 < n \leq p-1 < p y que p | n^2+n+1. Luego, si p = nk+1 se tiene que p divide a (n^2+n+1) - (nk+1) = n^2 + n - nk = n(n+1-k). Afirmamos que esto último implica n+1-k=0. En efecto, pues en caso contrario se tendría necesariamente que n+1- k \geq p = nk+1 y por consiguiente 0 \geq n(k-1)+k (¡contradicción!). Así, p = nk+1 = n(n+1)+1 = n^{2} + n  +1 y 4p-3 = 4n^{2} + 4n + 1 = (2n+1)^{2}.

    [Edit: Arreglado el LaTex]

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