Tantas pruebas para un teorema

En cualquier rama de las matemáticas, uno encuentra distintas maneras de demostrar el mismo hecho; en teoría de números pasa lo mismo. Hay un teorema que contiene una larga lista de demostraciones: La ley de reciprocidad cuadrática.

La ley de reciprocidad cuadrática tiene más de 233 demostraciones.

Fascinante! Pero hay que mirar al fondo y ver lo que verdaderamente significa: el desarrollo de una teoría. ¿Cómo es posible que haya tantas demostraciones? Una razón puede ser el estudio de la teoría de números algebraica. A decir verdad, no hay una sola ley de reciprocidad cuadrática (aunque suele llamarse así a la ley de reciprocidad mostrada por Legendre y completada Gauss), existen varias leyes, de hecho hay un libro que habla acerca de ellas: Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein de Franz Lemmermeyer.

Un ejemplo de una ley de reciprocidad poco común es la ley de reciprocidad ‘óctica’ de Eisenstein:

Definición: Sea zeta tal que 2\zeta=\sqrt{2}+\sqrt{2}i. Para un elemento \alpha en \mathbb{Z}[\zeta], defina el símbolo ‘óctico’ módulo \alpha, denotado [\beta/\alpha], como 1 sí x^8\equiv \beta\bmod\alpha tiene solución y -1 en caso contrario.

Teorema: Sea a\in\mathbb{Z}\alpha\in\mathbb{Z}[\zeta] tal que \alpha es congruente a 1 módulo 2(1+\zeta). Entonces

  \displaystyle\left[\frac{\alpha}{a}\right]=\left[\frac{a}{\alpha}\right], \left[\frac{\zeta}{a}\right]=\zeta^{(a^2-1)/4}, \left[\frac{1+\zeta}{a}\right]=\zeta^{(a^2-1)/8}


En el siguiente enlace se puede ver el recuento de las primeras 233 demostraciones con su fecha (nombre del artículo o libro), autor y el método utilizado: Proofs of the Quadratic Reciprocity Law. Cabe resaltar que 45 demostraciones están basadas en el lema de Gauss.

Termino con dos cosas, la primera es otro enlace con la demostración de Eisenstein: Eisenstein’s Misunderstood Geometric Proof of the Quadratic Reciprocity Theorem.

La segunda es con una frase de  Lemmermeyer

La historia de las leyes de reciprocidad es la historia de la teoría de números algebraica.


Referencias

  • Reciprocity laws: from Euler to Eisenstein, Franz Lemmermeyer. Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, 2000.

Notas

  • Lo de ‘óctico’ suena feo, pero no encontré traducción y pues decidí irme por ese nombre :).

4 Comentarios en "Tantas pruebas para un teorema"

  1. Mmmh… No creo que el libro de Lemmermeyer sea de 1962. 🙂

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